Školjka

%V0 Nakon kvadriranja i sređivanja slijedi ova nejednakost: 3 a^2 + 3 b^2 + 3 c^2 >= 2 ab + 2 bc + 2 ca + 8 <=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 + a^2 + b^2 + c^2 >= 8 Dalje u rješenju ću koristiti nepoznanice x,y,z kao neku permutaciju od brojeva a,b,c. Kako su a,b,c različiti cijeli brojevi, slijedi da je |a - b| >= 1, |b - c| >= 1, |c - a| >= 1. Pretpostavimo da kod sve tri nejednakosti vrijedi jednakost. Imamo 2 slučaja: a) a je parno => b neparno => c parno => a neparno =><= b) a je neparno => b parno => c neparno => a parno =><= Znači da se kod barem jedne nejednakosti ne postiže jednakost, tj. vrijedi |x-y| >= 2. Iz toga slijedi da je: (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 >= 1^2 + 1^2 + 2^2 = 6. (1) Kako su a,b,c cijeli brojevi, slijedi da je |a| >= 0, |b| >= 0, |c| >= 0. Pretpostavimo da barem dvije od tri nejednakosti vrijedi nejednakost. Tada bi vrijedilo: |x| = 0 = |y| => x = 0 = y =><= Znači da se kod barem dvije nejednakosti ne postiže jednakost, tj. vrijedi |x| >= 1 i |y| >= 1. Iz toga slijedi da je: a^2 + b^2 + c^2 >= 1 + 1 + 0 = 2. (2) (1) + (2) => (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 + a^2 + b^2 + c^2 >= 8 Q.E.D.