Školjka

\emph{Kriptogramom} prirodnog broja $n$ zovemo uređenu $n$-torku $a = (a_1, a_2, \dotsc, a_n)$ brojeva iz $\mathbb{N}_0$ takvu da vrijedi $$a_1 + 2a_2 + \dotsb + na_n = n.$$ Neka je $\mathcal{K}_n$ skup svih kriptograma broja $n$. Za $a\in\mathcal{K}_n$ označimo sa $J(a)$ broj pojavljivanja broja $1$ u kriptogramu $a$. Dokaži da vrijedi \[\sum\limits_{a \in \mathcal{K}_n}J(a) = \sum\limits_{a \in \mathcal{K}_{n+1}}a_2.\]