Državno natjecanje 2010 SŠ1 5


Kvaliteta:
  Avg: 2,5
Težina:
  Avg: 3,3
Dodao/la: arhiva
1. travnja 2012.
LaTeX PDF
Dana je dvadeset i jedna točka kao na slici.

\setlength{\unitlength}{25pt}
\begin{center}
\begin{picture}(4.2, 4.2)
\multiput(0, 0)(2, 0){3}{\line(0, 1){4}}
\multiput(0, 0)(0, 2){3}{\line(1, 0){4}}
\put(1, 0){\line(1, 1){3}}
\put(1, 0){\line(-1, 1){1}}
\put(3, 0){\line(1, 1){1}}
\put(3, 0){\line(-1, 1){3}}
\put(1, 4){\line(1, -1){3}}
\put(1, 4){\line(-1, -1){1}}
\put(3, 4){\line(1, -1){1}}
\put(3, 4){\line(-1, -1){3}}
\multiput(0, 0)(1, 0){5}{\circle*{0.2}}
\multiput(0, 2)(1, 0){5}{\circle*{0.2}}
\multiput(0, 4)(1, 0){5}{\circle*{0.2}}
\multiput(0, 1)(2, 0){3}{\circle*{0.2}}
\multiput(0, 3)(2, 0){3}{\circle*{0.2}}
\end{picture}
\end{center}

Na početku je svakoj točki pridružen broj nula. U svakom potezu odabire se pravac koji sadrži neku od nacrtanih dužina i u svim točkama kroz koje taj pravac prolazi, pridruženi brojevi se povećavaju za 1.

Kažemo da je prirodni broj n dohvatljiv ako se na opisani način može postići da je nakon određenog broja poteza svim točkama pridružen isti broj n.

a) Dokaži da je broj 2010 dohvatljiv.

b) Dokaži da broj 2011 nije dohvatljiv.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2010