Školjka

Kako bi pojednostavili zapisivanje, uvesti ćemo nekoliko supstitucija. Neka je $S_A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}$, gdje su $a$, $b$ i $c$ stranice trokuta. Ako je $S$ dvostruka površina trokuta $ABC$, vrijedi $S^2 = (ac)^2 - {S_{B}}^2$(Tvrdnja slijedi iz činjenice da je $S_A = S \cdot \cot{\alpha}$). Također, iz poznate formule za površinu trokuta slijedi $S = \dfrac{abc}{2R}$. Iz kosinusovog poučka slijedi da je $\cos{\alpha} = \dfrac{S_A}{bc}$, a iz sinusovog poučka vrijedi $\sin{\alpha} = \dfrac{a}{2R}$. Sada kada smo "pojednostavili" zapisivanje, možemo početi s rješavanjem. \\ \\ Uočimo da prema potenciji točke vrijedi $BP\cdot AP = R^2 - OP^2$, gdje je $R$ radijus opisane kružnice trokutu $ABC$. Primjenom osnovnih trigonometrijskih relacija u trokutima $\Delta BNA$, $\Delta PNA$ i $\Delta BNP$, dobivamo da je $BP\cdot AP = AB^2\cdot \sin^2{\beta}\cdot \cos^2{\beta}$. Analogno, dobivamo da je $AQ\cdot QC = AC^2\cdot \sin^2{\gamma}\cdot \cos^2{\gamma}$. Kombiniranjem gore danih supstitucija i tvrdnji, dobivamo da je tvrdnja $BP\cdot AP = AB^2\cdot \sin^2{\beta}\cdot \cos^2{\beta}$ ekvivalentna s tvrdnjom $4b^2R^4 = 16R^6 - 4R^2b^2c^2 + b^4c^2$, a da je potrebno dokazati $c^2 = 4R^2 - \dfrac{b^2c^2}{4R^4}(4R^2-c^2)$.\\ Preuređivanjem uvjeta dobivamo:\\ \\ \begin{align*} 4b^2R^4 - 16R^6 &= b^4c^2 - 4R^2b^2c^2\\ 4R^4(b^2-4R^2) &= b^2c^2(b^2 - 4R^2) \end{align*} Sada imamo dva slučaja, odnosno, ili je $b^2 = 4R^2$, ili je $b^2c^2 = 4R^4$.\\ Ako je $b^2 = 4R^2$, onda je $b = 2R$ što znači da je trokut pravokutan, a to je u kontradikciji s tvrdnjom da je trokut šiljastokutan.\\ Vrijedi da je $b^2c^2 = 4R^4$. Ako danu tvrdnju uvrstimo u izraz koji treba dokazati, dobivamo:\\ $c^2 = 4R^2 - \dfrac{4R^4}{4R^4}(4R^2 - c^2)$, odnosno, $c^2 = c^2$ što evidentno vrijedi.