Školjka

Neka je $X$ drugo sjecište $\omega_B$ i $\omega_C$, $Y$ drugo sjecište $\omega_C$ i $\Gamma$ a $Z$ drugo sjecište $\omega_B$ i $\Gamma$. Neka je $Y'$ drugo sjecište $AB$ i $\omega_C$ i $Z'$ drugo sjecište $AC$ i $\omega_B$. Neka je $R$ refleksija preko pravca $BC$. Imamo $R(\omega_B) = \omega_B$ i $R(\omega_C) = \omega_C$ jer su im središta na $BC$ pa je $R(A)$ drugo sjecište $\omega_B$ i $\omega_C$. Prema tome, $R(A) = X$. Imamo $$|\angle BYC| = |\angle BZC| = |\angle BY'C| = |\angle BZ'C| = 180^{\circ} - |\angle BAC|$$ pa zbog $Y, Y' \in \omega_C$ i $Z, Z' \in \omega_B$ imamo $R(Y) = Y'$ i $R(Z) = R(Z')$ (sa svake strane $BC$ postoji točno jedna točka na kružnicama $\omega_B, \omega_C$ odgovarajućeg kuta sa $B$ i $C$). Prema tome, $R(AB) = R(AY') = XY$ i analogno $R(AC) = XZ$ pa zbog $B, C \in BC$ imamo da su $B, Y, X$ i $C, Z, X$ kolinearne. Primijetimo da imamo $|\angle YXZ| = |\angle BAC|$ zbog svojstava refleksije preko $BC$, te imamo: $$|\angle XYZ| = 180^{\circ} - |\angle BYZ| = |\angle BCZ| = |\angle BCZ'| = |\angle BCA|$$ pa su trokuti $ABC$ i $XYZ$ slični.