Školjka

Oznacimo vrhove pravokutnika sa $X$, $Y$, $Z$ I $W$ tako da $X$ lezi na $AB$, $Y$ na $BC$, $Z$ na $CD$ i $W$ na $DA$. \\Laganim angle chasom dobijemo $\angle APB+\angle CPD=180 $ pa $P$ ima izogonalnu konjugatu s obzirom na cetverokut $ABCD$, oznacimo tu točku sa $E'$. \\Imamo $\angle E'AB+\angle E'BA=\angle PAD+\angle PBC=90$. Analogno dobijemo $\angle E'BC+\angle E'CB=\angle E'CD+\angle E'DC=\angle E'DA+\angle E'AD=90$ pa vrijedi $E'=E$. \\ Uocimo da su $P$ i E takoder izogonalne konjugate u $\triangle ABF$. \\S obzirom da u svakom trokutu vrijedi da su projekcije izogonalnih konjugata na stranice trokuta konciklicne, imamo da su $M$ i $N$ zapravo projekcije tocke $E$ na $FB$ i $FA$ pa $\angle YMW=\angle YME=90$ i $\angle YNW=\angle YNE=90$ pa $E$ takoder lezi na $MY$ i $WN$. \\Sada imamo da je $AMEN$ tetivan i promjer kružnice je $AE$. \\Iz $\triangle MYA$ imamo $\angle MAN=90-\angle MYN=90-\angle MWN $ (ovdje pretpostavljamo $AP>AE$, ali drugi slučaj se rjesi analogno), no iz toga sto su $GM$ i $GN$ tangente iz G na k imamo $\angle MGN=180-2\angle MWN$. \\Slijedi da je $G$ središte kruznice opisane cetverokutu $AMEN$ tj. $E$, $G$ i $F$ su kolinearne.