Školjka

Neka $P(x, y)$ označava uvrštavanje $x, y$ u funkcijsku jednadžbu. $$P(t-1, x) \implies f(t-1+f(y)+f(yt-y)) = yf(t) + f(t-1)$$ Prema tome, $f$ je surjektivna. Neka je $t_0$ takav $f(t_0) = 0$. $$P(1, t_0) \implies f(1) = f(1) + t_0f(2) \implies t_0f(2) = 0$$ Pretpostavimo prvo $f(2) = 0$ i uvrstimo $t_x$ takav da $f(t_x) = x-1$ $$P(1, t_x) \implies f(x) = f(1) \implies f(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R}$$ Ovo je u kontradikciji sa $f(t) \neq 0$, pa vrijedi $t_0 = 0$ i $f(x) = 0 \iff x = 0$. Neka je $t_1$ takav da $f(t_1) = 1$. $$P(0, y) \implies f(f(y)) = yf(1) \implies f(1) = t_1f(1) \implies t_1 = 1 \implies f(f(y)) = y$$ Prema tome, $f$ je injektivna. $$P(x, -1) \implies f(f(x) + f(-x) - 1) = f(-1) \implies f(-x) = -f(x)$$ $$P(x, f(-x)) \implies f(f(xf(-x))) = f(x) + f(-x)f(x+1)$$ $$\iff$$ $$-xf(x) = f(x) - f(x)f(x+1)$$ $$\iff$$ $$f(x+1) = x+1$$ Prema tome, $f(x) = x, \forall x \in \mathbb{R}$, što provjerom jest rješenje funkcijske jednadžbe.