Školjka

Pretpostavimo suprotno, tj. da su svi $a$, $b$ i $c$ razliciti. Oduzimanjem prve i druge jednakosti dobijemo (nakon faktorizacije): \[ (a-b) (a+b-1) = \frac{b-a}{ab} \] sto zbog pretpostavke mozemo skratiti na \( \displaystyle a+b = 1-\frac{1}{ab} \ ( \star ) \). Analogno dokazemo da vrijede i jednakosti dobivene ciklickom zamjenom varijabli. Ponovno oduzmemo ove prve dvije jednakosti i dobijemo (nakon skracivanja): \( \boxed{abc=1} \). Iz toga direktno uvrstavanjem u (\(\star\)) dobijemo \( \boxed{a+b+c =1} \). Sada u pocetnoj jednakosti pise \( \displaystyle a^2 + 1 - a = \frac{1}{a} \), sto faktoriziramo do jednakosti \( (a-1) (a^2 + 1) = 0 \). Iz ovoga citamo jedino realno rjesenje $a = 1$. No tada dobijemo sustav \[ bc = 1 \] \[ b+c = 0 \] koji nema realnih rjesenja. Zakljucujemo da je pocetna pretpostavka pogresna, tj. neka dva moraju biti jednaka.