Školjka

Nazovimo skup sa pribrojnicima $S$, i skup sa faktorima $P$. Igrajmo se na slučaju $n=5$, možda bismo mogli iskoristiti činjenicu da je $ 2\cdot 4 = 8 = 5 + 3 $ i podjela na skupove $S=\{3,5\} \enspace \textbf{i} \enspace P=\{1,2,4\}$ uistinu radi Intuicija nam govori da skup $P$ uopće ne treba toliko puno elemenata, pa pokušajmo pokriti skup $P$ sa elementima $1,a$ i $b$ koje ćemo sada otkriti. Dakle $$ \prod_{p\in P} p = \sum_{s\in S} s$$ $$ 1\cdot a \cdot b = 1 + 2 + \ldots + n - 1 - a - b$$ $$ ab + a + b + 1 = \frac{n(n+1)}{2}$$ $$ (a+1)(b+1) = \frac{n(n+1)}{2} $$ Sada možemo odabrati $a,b$ u ovisnosti o parnosti broja $n$. Ukoliko je $n$ paran odaberimo $a = \frac{n}{2}-1$ i $b = n$. A ukoliko je $n$ neparan odaberimo $a = \frac{n-1}{2}$ i $b = n-1$. Ova konstrukcija očito zadovoljava uvjete zadatka za sve $n \ge 5$, čime smo pokazali da se svaki skup $\{1,2,\ldots,n\}$ može pocepati na traženi način.