Rješenja zadatka "Državno natjecanje 2013 SŠ1 3" korisnika "11235"

Točno

21. listopada 2020. 17:35 (3 godine, 6 mjeseci)

Korisnik: 11235
Zadatak: Državno natjecanje 2013 SŠ1 3 (Sakrij tekst zadatka)

Neka su $a$ i $b$ duljine kateta, a $c$ duljina hipotenuze pravokutnog trokuta.

Dokaži da vrijedi $\left(1+\frac ca\right)\left(1+\frac cb\right) \geq 3+2\sqrt{2}.$

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Prvo, $\frac {c}{\sqrt {ab}}$ = $\sqrt \frac{a^2+b^2}{ab} \geq \sqrt 2$ zbog $A-G$ nejednakosti. Sada primjenom Cauchy-Schwarzove nejednakosti dobijamo:
$LHS \geq \left(1+\frac{c}{\sqrt {ab}} \right)^2 \geq \left(1+\sqrt 2 \right)^2=3+2\sqrt 2 = RHS$

Školjka

Ocjene: (1)