Školjka

Jasno je da svaki skup koji sadrži $4$ broja koji svi daju isti ostatak pri dijeljenju s $20$ zadovoljava svojstvo. Također je jasno da svaki skup u kojem postoje $4$ broja $a,b,c,d$ takva da $a$ i $c$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $20$, i $b$ i $d$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $20$, zadovoljava svojstvo. Promotrimo $7$ brojeva koji svi daju različite ostatke pri dijeljenju s $20$. Od njih možemo napraviti $\dfrac{7\cdot 6}{2} = 21$ par. Zbrojimo li prvi i drugi član para u svim parovima, jasno je da ćemo dobiti $21$ zbroj. Po Dirichletovom principu zato slijedi barem $2$ zbroja imaju isti ostatak pri dijeljenju s $20$. Dokažimo da se u ta $2$ para ne nalazi isti broj. Pretpostavimo suprotno: neka su $(x,y)$ i $(x,z)$ parovi čiji zbrojevi daju isti ostatak pri dijeljenju s $20$. Vrijedi $$ x+y\equiv x+z \pmod{20}$$ odnosno $$y\equiv z \pmod{20}$$ što je u kontradikciji s pretpostavkom da tih $7$ brojeva svi daju međusobno različite ostatke pri dijeljenju s $20$. Zaključujemo da u svakom skupu koji sadrži $7$ brojeva koji daju različite ostatke modulo $20$ sigurno postoje barem 2 para $(a,b)$ i $(c,d)$ tako da vrijedi $$ a+b \equiv c+d \pmod{20} .$$ Drugim riječima, takav skup zadovoljava svojstvo. Pronađimo najmanji $n$ takav da skup $n$ cijelih brojeva nužno zadovoljava svojstvo. To vrijedi za $n=9$, jer ako postoji $7$ brojeva koji svi daju različiti ostatak pri dijeljenju s $20$, gotovi smo. Inače u skupu imamo najviše $6$ različitih ostataka modulo $20$. Imamo $2$ slučaja: \begin{itemize} \item[$1^{\circ}$] Postoje neka 2 ostatka pri dijeljenju sa $20$ koja se oba pojavljuju više od jednom pa smo gotovi. \item[$2^{\circ}$] Neki se ostatak pojavljuje najmanje $4$ puta, pa smo gotovi. \end{itemize} Dokazali smo da svaki skup cijelih brojeva sa $9$ članova zadovoljava svojstvo. Sada je lagano za $n = 8$ konstruirati protuprimjer $ 1,1,1,2,3,5,8,13. $