Školjka

Prvo uočimo dvije vrlo uočljive stvari : 1. za $b = a + 1$ $$1 \ \vert \ 2a + 1$$ 2. za $b = a + 2$ $$2 \ \vert \ 2a + 2$$ Ali za $b = a + 3$ imamo $$3 \nmid 2a + 3$$ Za $$3 \nmid a$$ Sad tu imamo našu prvu pretpodstavku "$3$ ne djeli $a$" To je zato što intuativno a i vratit ćemo se kasnije na ovo; bilo bi bolje uzet svaki treći član skupa nego svaki četvrti. Za sad imamo da ukoliko uzmemo neki $a$ (koji nije djeljiv sa 3) možemo također i uzeti $b$ tako da je $b = a + 3$. Sad kad uzimamo treći broj ajmo ga nazvat $c$ moramo se pobrinuti da a i b ne djele c. Taj uvijet je vrlo lako ostvariv ako gledamo ostatke pri djeljenju sa $3$. Za svaka dva broja koja nisu djeljiva sa $3$ i imaju isti ostatak vrijedi : $$(3n + k) - (3m + k) \nmid (3n + k) + (3m + k)$$ Ili ti uvijet zadatka vrijedi. Sad ovo vrlo lako provjerimo jer $2k$ (ostatci broja 3 mogu biti 1 i 2 , ne gledamo 0 sada) može biti ili $2$ ili $4$ a oba broja nisu djeljiva sa $3$ Sada smo dobili da ukoliko uzmemo sve brojeve iz neke od skupina : $$3k + 1$$ $$3k + 2$$ Uvijet zadatka će vrijediti Zato što broj $$3k + 1$$ uvijek dođe prije $$3k + 2$$ uzet ćemo sve brojeve u obliku $$3k + 1$$ iz skupa $$\{1 , 2 , 3 ... , 2017\}$$ Ili ti skup $$\{3(0) + 1 , 3(1) + 1 , ... , 3(672) + 1 \}$$ A tu ukupno ima $673$ broja. Možemo se uvijeriti da je ovo najviše brojeva koliko možemo uzeti jer je najveća razlika između 2 susjedna broja koja smo uzeli $3$ dok kad bi npr. Uzeli da nam je neki $a = 3k$ imali bi najveću razliku od $4$ barem jednom.