Školjka

Pretpodstavimo suprotno : Postoje dva broja $a_i \neq a_j$ u našim brojevima za koje tvrdnja zadatka vrijedi. Raspišimo : $$a_i$$ $$a_j$$ $$a_i + a_j$$ $$a_i + a_j + a_3 + a_4$$ $$a_i + a_j + a_3 + a_4 + a_5$$ $$...$$ $$a_i + a_j + a_3 + ... + a _{99}$$ Ovdje ima $100$ brojeva tako da nikoji nije djeljiv sa $100$ (prema pretpostavci da uvijet zadatka vrijedi ). Prema diriklerovom principu dva imaju isti ostatak (mod 100). Znamo da $a_i$ i $a_j$ nemaju isti ostatak jer nisu jednaki i manji su od $100$ Tako da su neka druga dva i onda kad oduzmemo onaj s manje članova od onog s više članova dobit ćemo da neki izraz : $$a_n + a_{n+ 1} + ... + a_m$$ Je djeljiv sa $100$ Što je kontradikcija. Prema tome nikoja dva broja nesmiju biti drugačija. Tjst. Svi su brojevi jednaki. Ali također taj broj mora biti relativno prost sa $100$ Jer kad bi npr $$a \vert 100$$ Onda bi $$\frac{100}{a} \cdot a$$ bilo djeljivo sa $100$