Školjka

Neka je $C$ presjek $AE$ i $BF$, $O$ centar $\omega$, te neka je $T$ presjek tangenti na $\omega$ kroz $E$ i $F$. Također neka su $X,Y$ presjeci $t$ i $\omega$. \\ $\bold{Lemma}$: $D$ je na $AF$, analogno i na $BE$\\ Dokaz: Gledajmo homotetiju koja šalje $\omega_2$ u $\omega$. Centar joj je $F$, a $D$ se šalje u polovište luka $XY$ s druge strane $XY$ od $F$, što je upravo $A$. Analogno je $D$ na $BE$.\\ $\bold{Lemma}:E, O_2, O$ kolinearne, analogno $F, O_1, O$.\\ Dokaz: ista homotetija, centri kružnica se šalju jedan u drugi\\ $\bold{Lemma}$: $T$ je na $t$.\\ Dokaz: Uočimo da je $T$ radikalno središte $\omega, \omega_1, \omega_2$\\ $\bold{Lemma}$: Trokuti $ABC$ i $O_1O_2T$ su homotetični\\ Dokaz: Kako je $TD=TF$, $TO_2$ je simetrala $DF$, stoga $O_2T \perp DF \equiv AF \perp BC$. Analogno je $O_1T \parallel AC$ . Na kraju, $O_1O_2 \perp t \perp AB$ , pa su odgovarajuće stranice paralelne i to povlači našu tvrdnju. \\ \\ Ovo nam daje da su $AO_1, BO_2, CT(t)$ konkurentni. Cilj nam je pokazati da se ovom homotetijom i pravac $EF$ šalje u sebe. Zato neka je $Z$ presjek $EF$ i $O_2T$, dovoljno je pokazati da je $O_1Z$ visina u $O_1O_2T$, odnosno $O_1Z \parallel AF$ jer će tada $EZ$ prolaziti kroz centar homotetije, odnosno dokazat ćemo zadatak. Još malo i gotovi smo, dokazat ćemo da su $O_1$ i $Z$ jednako udaljeni od $AF$. Neka su $P,Q,R$ redom nožišta okomica iz $O_1$ na $AF, ED$, te nožište okomice iz $Z$ na $AF$\\. Imamo: \[\angle ZFR=\angle EFA=\angle EBA=\angle EDO_1\] pa su $DQO_1$ i $ZFR$ slični s koeficijentom sličnosti $DQ/FR=DE/DF$. Konačno, \[O_1P=OD*sin \angle O_1DP=OD*sin \angle O_2DF=OD*sin \angle O_2FD=OD*sin \angle OFA=OD*sin \angle BAF\] \[ZR=O_1Q*DF/DE=O_1Q*sin \angle BAF/sin \angle ABE=O_1Q/sin \angle O_1DQ*sin \angle BAF=OD*sin \angle BAF\], što rješava.\\ P.S.: Čini mi se da je glavna težina zadatka gledati zadatak iz konteksta $ABC$ i dodavanje točke $T$. Također, uvijek ako imate neke uvjete na tangentne kružnice, razmislite o homotetiji kao načinu za dokazivanje konkurentnosti (još pogotovo nakon ovih početnih lemica). Zadnji se dio može činiti ružan, ali meni je on bio najlakši jer sam već shvatio ove gore lemme i stvar je bila samo chaseanja i lagane trigonometrije. Za ljubitelje projektivne geometrije, u službenom shortlist paketu ima elegantan završetak Pappusom nakon što se dobije konkurentnost prva 3 pravca, pa koga zanima može pogledati. Također, ako netko ima nekih pitanja može se javiti u komentare, postoji solidna šansa da sam napravio zatipak negdje pa ću popraviti kad budem vidio.