Školjka

U rješenju, svi polovi i polare referiraju se na $\Gamma$. Neka je $G'$ preslika $G$ preko $AB$, $H$ presjek $AE$ i $d$. $B$ je ortocentar u trokutu $AHF$, stoga je $H,B,G$ kolinearno. ($BH$ i $BG$ su oba okomiti na $AG$).\\ $\bold{Lemma}$: $DG$ je tangenta na $\Gamma$.\\ dokaz: Neka je $Z$ presjek $d$ i $GE$, te $M$ presjek $AB$ i $D$. Poznato je da $(ZM;HF)=-1$, pa projiciranjem dobivamo:\\ $-1=(ZX, EG)$, odakle slijedi da je $Z$ na polari od $X$, neka je ta polara $l$. Nadalje, znamo da je $l$ okomit na $AB$, pa je jedina opcija za polaru $d$.\\ Sad, La Hire daje da je $X$ na polari od $D$, no kako je trivijalno $E$ na polari od $D$ imamo da je $EX$ polara od $D$, pa je $G$ na toj polari i po definiciji polare slijedi tvrdnja.\\ Promotrimo četverokut $HEGF$, on je tetivan zbog pravih kuteva, a kako je $DE=DG$ slijedi da je $D$ centar opisane mu kružnice, odnosno $D$ je polovište $HF$.\\ Sad slijedi ključna obzervacija: $C$ je $A$-Humpty točka u $AHF$ Sad ide završetak zadatka: iz svojstava Humpty točke imamo: \[\angle GCF=\angle AGC-\angle AFC=180-\angle ABC-(\angle AFM-\angle DFC)=180-\angle ABC-\angle AEG+\angle CBG=180-2\angle ABG=180-\angle GCG'\] i gotovi smo