Marko ima kartica , po dvije kartice sa svakim od brojeva . Kada ih je promiješao i složio jednu do druge u niz, primijetio je da se za svaki iz skupa između dvije kartica s brojem nalazi točno drugih kartica.
Dokaži da je broj djeljiv s .
%V0
Marko ima $2n$ kartica $(n \in \mathbb{N})$, po dvije kartice sa svakim od brojeva $1, 2, \ldots, n$. Kada ih je promiješao i složio jednu do druge u niz, primijetio je da se za svaki $k$ iz skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$ između dvije kartica s brojem $k$ nalazi točno $k$ drugih kartica.
Dokaži da je broj $n^2 + n$ djeljiv s $4$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili! Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Dvostruko brojimo broj indeksa svakom broja. Neka nam je prvi indeks gdje se pojavljuje. Onda je Iz ovoga je očito djeljiv s . Možemo to naravno malo faktorizirat ovo ono da se to bolje vidi. Al nećemo.
Dvostruko brojimo broj indeksa svakom broja.
Neka nam je $a_i$ prvi indeks gdje se $i$ pojavljuje.
Onda je
$$n(2n + 1) = \sum a_i + \sum a_i + i + 1$$
$$2n^2 = 2\sum_{i}a_i + \frac{n^2 + n}{2}$$
Iz ovoga $n^2 + n$ je očito djeljiv s $4$. Možemo to naravno malo faktorizirat ovo ono da se to bolje vidi. Al nećemo.
Školjka 
kartica 
, po dvije kartice sa svakim od brojeva 
. Kada ih je promiješao i složio jednu do druge u niz, primijetio je da se za svaki 
iz skupa 
između dvije kartica s brojem 
djeljiv s 
. 
prvi indeks gdje se 
pojavljuje. Onda je 
Iz ovoga