Neka je prirodan broj. Pretpostavimo da je (beskonačan) strogo rastući niz prirodnih brojeva takav da za svaki prirodan broj vrijedi Dokaži da postoji prirodan broj takav da je za svaki .
Neka je $c$ prirodan broj. Pretpostavimo da je $x_1, x_2, \ldots$ (beskonačan) strogo rastući niz prirodnih brojeva takav da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi $$x_n \mid n^2+c.$$ Dokaži da postoji prirodan broj $M$ takav da je $x_n=n^2+c$ za svaki $n \geq M$.
Warning: You haven't solved this problem yet. Click here to display the solution.
Neka je Ukoliko pretpodstavimo da je : Gdje je dobijemo kontradikciju. Niz je padajuć.
Ukoliko pretpodstavimo da je za svaki Ispisivanjem prva dobijamo :
Iz druga dva (uz iz prvog) zaključujemo a iz prva dva da mora biti (jer nemože bit )
Neka je $kx_n = n^2 + c$
Ukoliko pretpodstavimo da je :
$$lx_{n + 1} = (n + 1)^2 + c$$
Gdje je $l > k$ dobijemo kontradikciju.
Niz $\frac{n^2 + c}{x_n}$ je padajuć.
Ukoliko pretpodstavimo da je $k = \frac{n^2 + c}{x_n}$ za svaki $n \geq M$
Ispisivanjem prva $3$ dobijamo :
\begin{align*}
kx_n &= n^2 + c \\
kx_{n + 1} &= n^2 + 2n + 1 + c \\
kx_{n + 2} &= n^2 + 4n + 4 + c
\end{align*}
Iz druga dva (uz $k \mid n^2 + c$ iz prvog) zaključujemo $k \mid 2 $ a iz prva dva da $k$ mora biti $1$ (jer nemože bit $2$)
Školjka 
prirodan broj. Pretpostavimo da je 
(beskonačan) strogo rastući niz prirodnih brojeva takav da za svaki prirodan broj 
vrijedi 
Dokaži da postoji prirodan broj 
takav da je 
za svaki 
. 
Ukoliko pretpodstavimo da je : 
Gdje je 
dobijemo kontradikciju. Niz 
je padajuć.
za svaki 
dobijamo :
iz prvog) zaključujemo 
a iz prva dva da 
mora biti 
(jer nemože bit 
)