Školjka

Pretpostavimo da tvrdnja ne vrijedi. Podijelimo skup $\{1,...,1978\}$ na $6$ podskupa $A,B,C,D,E,F$ i neka su ti podskupi 'sum-free' odnosno da ne postoje dva elementa u nijednom podskupu tako da im je zbroj isto u tom podskupu. Prema Dirichletu postoji podskup s barem $\frac{1978}{6}=329.67$ odnosno s barem $330$ članova. BSO neka je to skup $A$. Vrijedi: $a_1<a_2<...<a_{330}$, također $a_{330}-a_{i}$ se ne nalazi u $A$ (zbog toga kako smo zadali $A,...,F$) nego u podskupovima $B,...F$. Prema Dirichletu u podskupu $B$ je barem $66$ brojeva. Neka su to: $b_1<...<b_{66}$ te također $b_{66}-b_{i}$ se ne nalazi u $B$ nego u $C,...,F$. Prema Dirichletu u $C$ je barem $17$ tih elemenata. Neka su to: $c_1<...<c_{17}$ te $c_{17}-c_{i}$ se ne nalazi u $C$ nego u $D,...,F$. Prema Dirichletu u $D$ je barem $6$ tih elemenata. Neka su to: $d_1<...<d_{6}$ te $d_{6}-d_{i}$ se ne nalazi u $D$ nego u $E,F$. Prema Dirichletu u $E$ je barem $3$ tih elemenata. Neka su to: $e_1<...<e_{3}$ te $e_{3}-e_{i}$ se ne nalazi u $E$ nego u $F$. U $F$ su barem dva elementa $f_1<f_2$, ali $f_2-f_1$ nije u $F$ pa $f_2-f_1$ nije ni u jednom podskupu. $KONTRADIKCIJA!!!$