Školjka

%V0 Znamo da kvadrati imati samo $0$,$1$,$4$,$9$,$5$ ili $6$ kao zadnju znamenku. Ocitno je $b \in \{0,1,4,5,6,9\}$. Znamo i da je $\overline{aabb} \equiv \overline{bb} \pmod 4$ Pogledajmo koje ostatke daju kvadrati pri djeljenju s $4$. $$$\begin {tabular}{l l l l l} n&0&1&2&3\\ $n^2$&0&1&0&1\\ \end{tabular}$$$ Provjerimo mogucnosti: $b=0 \Rightarrow bb \equiv 00 \equiv 0 \pmod 4$ Dakle, $b=0$ je mogucnost. $b=1 \Rightarrow bb \equiv 11 \equiv 3 \pmod 4$ Dakle, $b=1$ nije mogucnost. $b=4 \Rightarrow bb \equiv 44 \equiv 0 \pmod 4$ Dakle, $b=4$ je mogucnost. $b=5 \Rightarrow bb \equiv 55 \equiv 3 \pmod 4$ Dakle, $b=5$ nije mogucnost. $b=6 \Rightarrow bb \equiv 66 \equiv 2 \pmod 4$ Dakle, $b=6$ nije mogucnost. $b=9 \Rightarrow bb \equiv 99 \equiv 3 \pmod 4$ Dakle, $b=9$ je mogucnost. Sada imamo $b \in \{0,4\}$ Da bi kvadrat zavrsavo na $00$, broj kojeg kvadriramo mora biti djeljiv s $10$. Brojevi djeljivi s $10$ ciji su kvadrati cetveroznamenkasti su $40$,$50,$60$,$70$,80$ i $90$. Niti jedan od njih nedaje kvadrat oblika $aabb$.\newline $b=4$.\newline Pogledajmo koje ostatke daju kvadrati $mod$ $9$. $$$\begin{tabular}{l l l l l l l l l l} n&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ $n^2$&0&1&4&0&7&7&0&4&1\\ \end{tabular}$$$ Suma znamenaka naseg broja je $2a+8$ Ispitivanjem modula $9$, dobivamo da je $a \in \{1,4,5,7\}$. Iz pravila o djeljivosti s $11$ se jasno vidi da je $aabb$ djeljiv s $11$ neovisno o vrjednostima $a$ i $b$, tako da za svaki od brojeva provjerimo dali je djeljiv s $11^2$ i dobivamo da to zadovoljava samo $7744$, koji i zaista je kvadrat ($88^2$) .