Školjka

Kažemo da je $n$ dobar ako vrijedi $$z_n < \frac{z_0 + z_1 + \cdots + z_n}{n} \leq z_{n+1} \text{.}$$ Definiramo $S_n=z_0+z_1+\cdots+z_n$. Dakle, vrijedi $S_{n+1}=S_n+z_{n+1} (*)$. Uvijet postaje $$z_n<\frac{S_n}{n}\le z_n+1\Longleftrightarrow S_n-S_{n-1}<\frac{S_n}{n}\le S_{n+1}-S_{n}$$ Pomnožimo sve dijelove nejednakosti s $n$, pa dobivamo $$nS_n-nS_{n-1}<S_n\le nS_{n+1}-nS_n\Longleftrightarrow(n-1)S_n-nS_{n-1}<0\le nS_{n+1}-(n+1)S_n$$ Prisjetimo se $(*)$, dobivamo $$(n-1)(z_n+S_{n-1})-nS_{n-1}<0\le n(z_{n+1}+S_n)-(n+1)S_n\Longleftrightarrow(n-1)z_n-S_{n-1}<0\le nz_{n+1}-S_n$$ Napravit ćemo jednu kratku opservaciju:\\ Neka je $n=1$, tada je očito $(1-1)z_1-S_0=-z_0<0$. S druge strane, ako je $1$ dobar, tada bi vrijedilo $z_2-z_1-z_0\ge0\implies z_2\ge z_0+z_1$. Tada za sve $k>1$ imamo $(k-1)z_k-(z_0+z_1+\cdots+z_{k-1})=(z_k-z_{k-1})+(z_k-z_{k-2})+\cdots+(z_k-z_2)+z_k-z_1-z_0>z_k-z_1-z_0>z_2-z_1-z_0\ge0$\\ Dakle, nijedan $k>1$ nije dobar. Tu smo provjerili što se dešava ako je $n=1$ dobar, pa ćemo u ostatku rješenja protpostaviti $n\ge2$ (biti će korisno jer je $n\ge1$, pa će biti potrebno u nastavku). Sada, neka je $k\ge2$ prvi (najmanji) indeks za koji je $(k-1)z_k-(z_0+z_1+\cdots+z_{k-1})\ge0$. Znamo da postoji jer je to ekvivalentno tome da je $(z_k-z_{k-1})+(z_k-z_{k-2})+\cdots+(z_k-z_2)+z_k-z_1-z_0\ge z_k-z_1-z_0$. Kako je za svaki niz $z_0+z_1$ fiksan, a niz je rastući pa $z_k$ može biti proizvoljno velik, odnosno $z_k-z_0-z_1\ge0$ slijedi da takav $k$ postoji. Za takav $k$, kako je $k\ge2$, slijedi da za sve $1\le\alpha<k$ vrijedi $(\alpha-1)z_{\alpha}-S_{\alpha-1}<0$, posebno za $\alpha=k-1$ imamo $(k-1)z_k-S_{k-1}<0$, dakle $k-1$ je dobar. Dokažimo da je $k-1$ jedini dobar. Primijetimo da nijedan $1\le\alpha<k-1$ nije dobar, jer vrijedi $(\alpha-1)z_{\alpha}-S_{\alpha-1}<0$, pa drugi dio nejednakosti nije zadovoljen za sve $\alpha<k-1$. S druge strane, za sve $m>k-1$ imamo $$(m-1)z_m-S_{m-1}=(z_m-z_{m-1})+(z_m-z_{m-2})+\cdots+(z_m-z_{k})+(k-1)z_m-S_{k-1}\ge(k-1)z_k-S_{k-1}\ge0$$ Iz ovoga slijedi da prvi dio nejednakosti nikada nije zadovoljen za sve $m>k-1$.\\ Iz svega ovoga slijedi da postoji samo jedan dobar broj $n$.