Školjka

proširimo li prvi razlomak s \(a\), drugi s \(b\), a treći s \(c\), uvrstimo izraz \(abc=1\) te primjenimo li A-G dobijemo: \[ \frac{a^2 - b^2}{a + bc} + \frac{b^2 - c^2}{b + ca} + \frac{c^2 - a^2}{c + ab} = \] \[ = a \cdot \frac{a^2 - b^2}{a^2 + 1} + b \cdot \frac{b^2 - c^2}{b^2 + 1} + c \cdot \frac{c^2 - a^2}{c^2 + 1} \] \[ = a - a \cdot \frac{b^2 + 1}{a^2 + 1} + b - b \cdot \frac{c^2 + 1}{b^2 + 1} + c - c \cdot \frac{a^2 + 1}{c^2 + 1} \] \[ = a + b + c - \left( a \cdot \frac{b^2 + 1}{a^2 + 1} + b \cdot \frac{c^2 + 1}{b^2 + 1} + c \cdot \frac{a^2 + 1}{c^2 + 1} \right) \] \[ \overset{\text{A-G}}{\leq} a + b + c - 3 \sqrt[3]{abc} \] \[ = a + b + c - 3 \] što je i trebalo dokazati.