Školjka

Neka je $\left(a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ niz kojem je $n.$ član jednak $n.$ članu sume. Tada je: $$ a_n = \frac{1}{n\sqrt{n+1} + (n+1) \sqrt{n}}. $$ Sredimo opći član niza sa ciljem da teleskopiramo sumu: $$ a_n = \frac{1}{\sqrt{n(n+1)} \left( \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \right)}. $$ Uočimo da racionalizacijom nazivnika postižemo nulu nazivniku pa ćemo moći lakše zbrajati članove sume: $$ a_n = \frac{1}{\sqrt{n(n+1)} \left( \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \right)} \cdot \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}. $$ Odlično! Iako je nazivnik poprilično sređen, i dalje nam neće olakšati zbrajanje članova niza (ovisi o $n$). Međutim, možemo pisati: $$ a_n = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}} - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}. $$ To je to! Dakle, suma $k$ članova niza jednaka je: $$ \begin{aligned} \sum_{i = 1}^k a_i &= \left(\frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{1+1}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2+1}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3+1}}\right) \cdots + \left(\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{1}} - \left(\frac{1}{\sqrt{1+1}}+ \frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{2+1}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) - \cdots + \left(- \frac{1}{\sqrt{k-1+1}} + \frac{1}{\sqrt{k}}\right) - \frac{1}{\sqrt{k+1}} \\ &= 1 - \frac{1}{\sqrt{k+1}}. \end{aligned} $$ Specijalno za $k = 24$, tražena suma iznosi $\frac{4}{5}$.