Neocijenjeno
Dec. 8, 2013, 12:05 p.m. (12 years, 9 months)
Official solution
U trokutu
simetrale kuta
pri vrhu
siječe nasuprotnu stranicu
u točki
. Točka
izvan trokuta
je takva da je
i da je
. Dokažite da je
simetrala kuta
.
%V0
U trokutu $ABC$ simetrale kuta $\gamma$ pri vrhu $C$ siječe nasuprotnu stranicu $\overline{AB}$ u točki $N$. Točka $D$ izvan trokuta $ABC$ je takva da je $|AN|=|ND|$ i da je $\angle{ADN}= \frac{\gamma}{2}$. Dokažite da je $AB$ simetrala kuta $\angle{DBC}$.
Warning: You haven't solved this problem yet.
Click here to display the solution.
Trokut
je jednakokračan pa je
. Budući da je
vanjski kut tog trokuta vrijedi
. Po teoremu o simetrali kuta vrijedi
(po uvijetu zadatka)
. Po teoremu SKS zakljucujemo da su trokuti
i
slični. Zato je
odnosno polupravac
dijeli kut
na dva jednaka dijela, pa je simetrala.
%V0
Trokut $ADN$ je jednakokračan pa je $\angle{NAD} = \angle{ADN} = \frac{\gamma}{2}$. Budući da je $\angle{BND}$ vanjski kut tog trokuta vrijedi $ \angle{BND} = \angle{NAD} + \angle{ADN} = \gamma $. Po teoremu o simetrali kuta vrijedi $ \frac{AC}{BC} = \frac{AN}{NB}=$ (po uvijetu zadatka) $=\frac{DN}{NB}$. Po teoremu SKS zakljucujemo da su trokuti $ABC$ i $DNB$ slični. Zato je $\angle{DBA} = \angle{DBN} = \angle{ABC}$ odnosno polupravac $BA$ dijeli kut $\angle{DBC}$ na dva jednaka dijela, pa je simetrala.
Školjka