Školjka

%V0 Neka je $P$ polovište $BC$ i $Q$ polovište $AC$ i $T$ težište. Treba dokazati $QB \perp AP \Leftrightarrow BC^2+AC^2=5AB^2$. Dokažimo prvo smjer prema desno. Neka je $AP=t_a$ i $BQ=t_b$. Vrijedi $AT=2/3 AP, TP=1/3 AP$ i analogno na $BQ$. Po Pitagorinom poučku u $ATB$ je $t_a^2+t_b^2=9/4 AB^2$. U trokutima $AQT$ i $TPB$ dobiva se redom $4t_a^2+t_b^2=9/4AC^2$ i $4t_b^2+t_a^2=9/4BC^2$. Zbrajanjem je $5(t_a^2+t_b^2)=5*9/4AB^2=9/4AC^2+9/4BC^2$ tj. $5AB^2=BC^2+AC^2$ što je i trebalo dokazati. Drugi smjer: Uvedimo oznake $a,b,c$. Pretpostavljamo $a^2+b^2=5c^2$. Opće je poznata formula za težišnicu $t_a=\frac{1}{2} \sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$ Tada je $t_a^2+t_b^2=\frac{1}{4}(a^2+b^2+4c^2)=\frac{9}{4}c^2$ iz čega slijedi $\frac {4}{9}(t_a^2+t_b^2)=c^2$. Po obratu Pitagorinog poučka je $ATB$ pravokutan odnosno $AP \perp QB$, što je i trebalo dokazati.