Školjka

%V0 Ekvivalentan zadatak: U ravnini je dano $n$ točaka tako da su svake dvije udaljene barem za $1$. Dokažite da je točke moguće obojati u 4 boje tako da nijedan par točaka iste boje nije udaljen točno za $1$. Neka se dvije točke dodiruju ako su udaljene točno za $1$. Vršimo indukciju po $n$. Baza je trivijalna. Promatrajmo konveksnu ljusku $P_1P_2\ldots P_k$ zadanog skupa točaka. Ako je ona pravac, tvrdnja je trivijalna, inače postoji $i$ takav da je $\angle P_{i-1}P_iP_{i+1} < 180^{\circ}$. Kao u ostalim rješenjima, zbrajanjem kuteva lako se dobije da se $P_i$ dodiruje s najviše $3$ točke. Po pretpostavci indukcije, možemo valjano obojati sve točke osim $P_i$ zanemarivši boju $P_i$. Pošto se $P_i$ dodiruje s najviše $3$ točke, postoji boja u koju je možemo obojati, $\text{QED}$.