Školjka

%V0 Ako oznacimo sa $ P_1 $ , $ P_2 $ , $ P_3 $ redom dvostruke povrsine trokuta $ BMC $ , $ CMA $ i $ AMB $ a sa $ P $ dvostruku povrsinu trokuta $ ABC $ vrijedi $ P_1+P_2+P_3=P $ koristit cemo $ P=a h_1=b h_2=c h_3 $ $ (1) $ ... $ \displaystyle \frac{h_1}{u} + \frac{h_2}{v} + \frac{h_3}{w} \geq 9,$$ prosirivanjem prvog razlomka sa $ a $ drugog sa $ b $ treceg sa $ c $ dobivamo $ \displaystyle \frac{P}{P_1} + \frac{P}{P_2} + \frac{P}{P_3} \geq 9,$$ izlucivannjem $ P $ i koristenjem $ P_1+P_2+P_3=P $ dobivamo $ \displaystyle (P_1+P_2+P_3) ( \frac{1}{P_1} + \frac{1}{P_2} + \frac{1}{P_3} ) \geq 9,$$ sto vrijedi zbog A-H nejednakosti $ (2) $ ... $ \displaystyle h_1h_2h_3 \geq 27uvw,$$ mnozenjem sa $ abc $ dobivamo $ \displaystyle P^3 \geq 27P_1 P_2 P_3,$$ sada izvadimo $ 3 $ korjen i dobijemo $ \displaystyle P_1+P_2+P_3=P \geq 3 \cdot \sqrt[3]{P_1 P_2 P_3} $ a ovo vrijedi po A-G nejednakosti $ (3) $ ... $ \displaystyle (h_1-u)(h_2-v)(h_3-w) \geq 8uvw.$$ nakon sto sve izmnozimo i prebacimo sve na stranu na kojoj je pozitivno dobijemo $ \displaystyle h_1 h_2 h_3+h_1 v w+h_2 uw+h_3 uv \geq 9uvw +h_1 h_2 w+h_1 h_3 v+h_2 h_3 u $ sada koristenjem $ (2) $ po A-G nejednakosti vrijedi $ \displaystyle h_1 v w+h_2 uw+h_3 uv \geq 9uvw $ pa moramo samo pokazati $ \displaystyle h_1 h_2 h_3 \geq h_1 h_2 w+h_1 h_3 v+h_2 h_3 u $ mozenjem sa $ abc $ dobivamo $ \displaystyle P^3 \geq P^2 (P_1+P_2+P_3) $ gdje cak vrijedi jednakost zbog $ P_1+P_2+P_3=P $