Školjka

%V0 Ako tvrdnja vrijedi tada postoji prirodni broj $x$ takav da $n\cdot 2^{n+1}+1 = x^2 \implies n\cdot2^n = (x-1)(x+1)$ $x$ je neparan, a $x-1$ i $x+1$ su udaljeni točno za dva pa je jedan djeljiv sa $2$, a drugi sa $2^n$ pa razlikujemo dva slučaja: 1) $x-1 = 2a$, $x+1 = b \cdot 2^n$ gdje su $a,b \in N$, $ab = n$ $x+1-(x-1) = b\cdot 2^n - 2a$ $2 = b\cdot 2^n - 2a$ Gledamo minimalnu vrijednost funkcije $b\cdot 2^n - 2a$ za $n=1$ imamo minimalnu vrijednost $b\cdot 2^n - 2a = 1*2 - 2 = 0$ za $n=2$ imamo $b\cdot 2^n - 2a = 1\cdot 2^2 - 2\cdot 2 = 0$ za $n=3$ imamo $b\cdot 2^n - 2a = 1\cdot 2^3 - 2\cdot 3 = 2$ za $n=4$ imamo $b\cdot 2^n - 2a = 1\cdot 2^4 - 2\cdot 4 = 8 > 2$ Za veće $n$ nemoramo provjeravati jer $b\cdot 2^n$ raste eksponencijalno, a $2a$ linearno pa se minimalna vrijednost povećava Zaključujemo: $n\leq 3$ 2) $x-1 = b\cdot 2^n$, $x+1 = 2a$ gdje su $a,b \in N$, $ab = n$ $x+1 - (x-1) = 2a - b\cdot 2^n$ $2 = 2a - b\cdot 2^n$ Gledamo maksimalnu vrijednost funkcije $2a - b\cdot 2^n$ za $ n = 4$ imamo $2a - b\cdot 2^n = 2\cdot 4 - 1\cdot 2^4 = -8 < 2$ Za veće $n$ nemoramo provjeravati jer $b\cdot 2^n$ raste eksponencijalno, a $2a$ linearno pa se maksimalna vrijednost smanjuje Zaključujemo: $n \leq 3$ Uvrštavajući sve $n \leq 3$ u $n\cdot 2^{n+1}+1 = x^2$ dobijemo da je $n=3$ jedino rješenje.