Školjka

%V0 Ako je $x \leqslant y$,tada je $y!=x! \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot ... \cdot y$, pa možemo i reći da $x! \mid y! \Rightarrow x! \mid x! + y! \Rightarrow x! \mid x^y$. Sad za svaki prost broj iz skupa $\{ 1,2,3,...,x\}$ kao djelitelj $x!$ vrijedi da je djelitelj $x^y$, a kako je prost i samog $x$ $(*)$. $\text{Lemma}:$ Trivijalno je uvidjeti da svaki prost djelitelj $x$ mora biti manji ili jednak $\frac{x}{2}$. S druge strane po oslabljenoj verziji Bertrandovog postulata (za koji sam totalno znao i prije ovog) vrijedi da za svaki prirodan broj $n>2$ postoji barem jedan prost broj $p$ za koji vrijedi $n<p<2n$. Taj prost broj po $(*)$ mora biti djelitelj $x$, što je nemoguće po $\text{Lemmi}$. Dakle, ne postoji rješenje za $x>2$. Preostaje proučiti slučajeve kad je $x\leqslant2$. Ovdje dobivamo jedina rješenja $(2,2),(2,3)$. Ako je $x > y$ tada se analogno dolazi do $y! \mid x ^ y$ pa i $x(x-1)...(y+1) + 1 \mid x^y$. S druge strane $\text{gcd} (x(x-1)...(y+1) + 1,x)=1$, pa ovdje nema rješenja.