Školjka

%V0 U nekim se zadacima susrećemo sa sustavom koji se mijenja po određenim pravilima. U takvim je zadacima ćesto korisno potražiti neku veličinu koju ta pravila ne mijenjaju. Takvu veličinu, koju se ne mijenja nikakvom dozvoljenom promjenom sustava, zovemo [i]invarijantp,[/i]. Česti primjeri invarijanti su: ostatak koji suma daje pri djeljenju s $n$ za neki prirodni $n$ ili, primjerice, njihov umnožak. [b]Primjer zadatka i zapisa rješenja:[/b] Neka su dozvoljeni koraci promjene uređenog para $(x,y)$ $\bullet (x,y) \rightarrow \left( \dfrac{1}{3}x + \dfrac{4}{5}y,\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{5}y \right)$ $\bullet (x,y) \rightarrow (y,x)$ (Dakle, primjenjujući prvi korak na $(2,1)$ dobivamo $\left( \dfrac{1}{3}\cdot 2+\dfrac{4}{5}\cdot 1,\dfrac{2}{3}+\cdot 2\dfrac{1}{5}\cdot 1 \right)$ što je jednako $\left( \dfrac{22}{15},\dfrac{23}{15} \right)$. Sada možemo, na primjer primjeniti drugi dozvoljeni korak i dobiti $\left( \dfrac{23}{15},\dfrac{22}{15} \right)$, pa opet možemo primjeniti prvi, i tako dalje.) [b]Pitanje:[/b] Možemo li od brojeva $(2,7)$ doći do $(4,3)$? [b]Rješenje:[/b] Primjetimo da u oba moguća koraka (promjene) prije i nakon promjene imamo istu sumu uređenog para. To jest primjetimo da: $x+y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{5}y+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{5}y$ $x+y=x+y$ i $x+y=y+x$ Dakle, što god mi radili, suma uređenog para se neće promijeniti. Suma para od kojeg počinjemo je $2+7=9$, a moramo doći do $4+3=7$. Kako $7 \neq 9$, vidimo da to nije moguće.