Školsko/gradsko natjecanje iz matematike 2016, SŠ2 A 7


Kvaliteta:
  Avg: 0,0
Težina:
  Avg: 2,0
Dodao/la: arhiva
1. svibnja 2017.
LaTeX PDF

Neka je n \geq 3 prirodni broj. Kvadrat ABCD je podijeljen na n^2 pravokutnika pravcima p_1, \dots, p_{n-1} paralelnim s pravcem AB i pravcima q_1, \dots, q_{n-1} paralelnim s pravcem BC. Stranice \overline{AB} i \overline{CD} leže redom na pravcima p_0 i p_n, a stranice \overline{BC} i \overline{AD} redom na pravcima q_0 i q_n. Pravac p_i se nalazi između pravaca p_{i-1} i p_{i+1}, a pravac q_i se nalazi između pravaca q_{i-1} i q_{i+1}, za sve i = 1, \dots, n - 1. Neka je A_{i,j} pravokutnik omeđen pravcima p_{i-1}, p_i, q_{j-1} i q_j, za 1 \leq i, j \leq n.

Ako je poznato da pravokutnici A_{i,j} i A_{j,i} imaju jednake površine za svaki par (i, j) takav da je 1 \leq i < j \leq n, dokaži da je A_{i,i} kvadrat za svaki i = 1, \dots, n.

Izvor: Školsko/gradsko natjecanje iz matematike 2016