Državno natjecanje iz matematike 1993, SŠ3 4


Kvaliteta:
  Avg: 0,0
Težina:
  Avg: 5,0

U trokutu s duljinama stranica a, b, c i nasuprotnim kutovima \alpha,
\beta, \gamma definira se tzv. Brocardov kut \omega formulom m =
\ctg{\omega} = \ctg{\alpha} + \ctg{\beta} + \ctg{\gamma}. (a) Izrazite zbrojeve a^2 + b^2 + c^2, a^4 + b^4 + c^4 i b^2c^2 + c^2a^2 +
a^2b^2 pomoću veličine m i površine P trokuta koristeći prethodno dokazanu formulu 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 16P^2. (b) Dokažite da je m \geq 3. Što to znači za kut \omega? Za koje trokute vrijedi jednakost?
(c) Dokažite da ne postoji trokut kod kojeg su a, b, c, m cijeli brojevi.

Izvor: Državno natjecanje iz matematike 1993