Simulacija HMO 2020 zadatak 1


Kvaliteta:
  Avg: 0,0
Težina:
  Avg: 0,0
Dodao/la: MNM
25. svibnja 2020.
LaTeX PDF

Neka su dani a,b,c \in \mathbb{R}^+ takvi da su svi u parovima različiti. Dokažite da vrijedi

\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a} >\frac{1}{3} \left(\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2-c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2-a^2}\right)

Izvor: https://mnm.hr/wp-content/uploads/2020/05/Simulacija_HMO_a-1.pdf



Komentari:

Za a,b,c>0 vrijedi: \frac{a^2}{a+b} + \frac{b^2}{b+c} + \frac{c^2}{c+a} > \frac{1}{3} \left( \frac{a^3-b^3}{a^2-b^2} + \frac{b^3-c^3}{b^2-c^2} + \frac{c^3-a^3}{c^2-a^2} + \frac{(\max \{ a,b,c\} - \min \{ a,b,c \} )^2} {a+b+c} \right)