Školjka

\textbf{Teorem 1 (Homogena linearna diofantska jednadžba):} Diofantska jednadžba oblika $ax + by = 0$ gdje su $a, b\in \mathbb{Z}$, $a \neq 0, b \neq 0$ ima beskonačno mnogo cjelobrojnih rješenja, takvih da su $$(x, y) = \left(\dfrac{tb}{M(a, b)}, \dfrac{-ta}{M(a, b)} \right), \ t \in \mathbb{Z}$$ \textbf{Teorem 2 (Linearna diofantska jednadžba):} Diofantska jednadžba oblika $ax + by = c$ gdje su $a, b, c \in \mathbb{Z}$, $a \neq 0, b \neq 0$ ima cjelobrojna rješenja \textbf{ako i samo ako $M(a, b)$ dijeli $c$}. Tada ih ima beskonačno mnogo. Također, sva su rješenja oblika zbroja jednog partikularnog i skupa rješenja homogenog. PRIMJER 1: Riješimo homogenu diofantsku jednadžbu $3x + 5y = 0$. RJEŠENJE: Izrazimo jednu nepoznanicu pomoću druge: $3x = -5y$. Budući da je $x$ cijeli broj, $y$ mora biti djeljiv s 3, tj. $y$ je oblika $y = 3t$ gdje je $t$ neki cijeli broj. Iz toga dobivamo da je $x = -5t$. Dobili smo da su rješenja početne jednadžbe svi uređeni parovi $(-5t, 3t)$, $t \in \mathbb{Z}$. \\ PRIMJER 2: Riješimo diofantsku jednadžbu $3x + 5y = 7$. RJEŠENJE: Pokušajmo pronaći neki par $(x_0, y_0)$ koji zadovoljava jednadžbu. Pogađanjem možemo naći uređen par $(-1, 2)$ što nam je zapravo jedno \textbf{partikularno} rješenje naše diofantske jednadžbe. Promatrajmo sada homogenu jednadžbu 3x + 5y = 0. Iz prethodnog primjera znamo da su rješenja te jednadžbe svi uređeni parovi $(-5t, 3t)$, gdje je $t \in \mathbb{Z}$. \\ Iz Teorema 1.3. zaključujemo da su rješenja opće jednadžbe parovi $(-1 - 5t, 2 + 3t),\ t \in \mathbb{Z}$. \textbf{Zadatci za samostalno rješavanje} 1. Riješi homogenu diofantsku jednadžbu: $4x - 10y = 0$. 2. Riješi diofantsku jednadžbu: $6x - 10y = 8$. 3. Riješi diofantsku jednadžbu: $9999x - 99999y = 37373747$.