Školjka

Najveći broj elemenata koje jeftin skup može imati je $5$. Primjer takvog skupa je $\{1, 2, 3, 4, 9\}$.\\ Pretpostavimo da postoji jeftin skup s $6$ ili više članova.\\ Promotrimo podskup od najmanja $3$ člana skupa veća od $1$. Neka $2$ člana tog podskupa su relativno prosti, pa postoji parem jedan par relativno prostih brojeva većih od $1$ u skupu. Uzmimo $2$ relativno prosta člana skupa takva da im je suma minimalna. Neka su ti brojevi $a$ i $b$. Promotrimo sada $a,b$ i neki broj iz skupa veći od $1$. Označimo ga s $c$. Mora biti zadovoljen jedan od sljedećih uvjeta: $$a\ | \ c, \ b \ | \ c, \ c\ | \ a, \ c\ | \ b$$ Ako $c \ | \ a$ tada $c < a$, a $M(b,c)=1$, pa $c+b<a+b$ što je u kontradikciji s minimalnošću $a+b$. Prema tome, $c \not | \ a$. Analogno, $c \not | \ b$. Iz ovog slijedi da su svi članovi skupa različiti od $1,a,b$ djeljivi ili s $a$ ili s $b$, a kako u skupu ima barem $6$ elemenata, postoje ili $2$ djeljiva s $a$ ili $2$ djeljiva s $b$. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da su $2$ broja djeljiva s $a$, te ih označimo s $xa,ya$. Međutim, tada u podskupu $\{a,xa,ya\}$ ne postoje $2$ relativno prosta broja, što je kontradikcija. \\ \\ Zaključujemo da ne postoji jeftin skup s više od $5$ elemenata.