Školjka

%V0 Označimo s $T(a, b, c, d)$ tvrdnju $a+b+c+d \ | \ ab-cd$. Dokazati ćemo da $T(a, b, c, d) \iff T(a+k, b+k, c-k, d-k)$, $k \in \mathbb{Z}$ $$a+b+c+d \ | \ ab-cd + k(a+b+c+d)$$ $$a+b+c+d \ | \ ab+ka+kb+k^2 - (cd-kc-kd+k^2)$$ $$(a+k)+(b+k)+(c-k)+(d-k) \ | \ (a+k)(b+k) - (c-k)(d-k)$$ Prema tome, tvrdnja je dokazana. Uzmimo neki $(a, b, c, d)$ za koji vrijedi $T(a, b, c, d)$ i pretpostavimo WLOG da je $d \leq c$. Tada vrijedi i tvrdnja $T(a+d, b+d, c-d, d-d) = T(x, y, z, 0)$ tj. vrijedi da $x + y + z \ | \ xy$. Za svaki prost $p$, $p \ | \ xy$ vrijedi $p \ | \ x$ i/ili $p \ | \ y$ pa tako i $p \leq x$ i/ili $p \leq y$ pa zbog toga i $p < x+y+z$ iz čega konačno zaključujemo da $x+y+z=a+d+b+d+c-d = a+b+c+d$ ne može biti prost broj. Zbog toga što je suma $4$ prirodna broja veća ili jednaka $4$, ne može biti jednaka ni $1$ pa mora bit složen broj.