Državno natjecanje 1995 SŠ3 2


Kvaliteta:
  Avg: 1,5
Težina:
  Avg: 5,0
a) Služeći se poznatim formulama a=2R\sin \alpha i s - a = r \cot \frac{\alpha}{2} u trokutu ABC s polumjerima R i r opisane i upisane kružnice i poluopsegom s i izražavajući \sin \alpha i \cot \frac{\alpha}{2} pomoću \cos \alpha pokažite da je broj \cos \alpha rješenje jednadžbe

4R^2x^3 - 4R(R+r)x^2 + (s^2+r^2-4R^2)x + (2R+r)^2 - s^2=0.

b) Izrazite brojeve \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma i \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma pomoću duljina R, r i s.

c) Pokažite da je zbroj orijentiranih udaljenosti središta O opisane kružnice trokuta ABC od pravaca BC, CA, AB jednaka R+r, ako se orijentirana udaljenost točke O od npr. pravca BC uzima kao pozitivna ili negativna već prema tome da li su točke O i A s iste ili s različitih strana tog pravca.

d) Ako se konveksan tetivni n-terokut na bilo koji način podijeli na n-2 trokuta pomoću n-3 dijagonala, koje se ne sijeku unutar tog poligona, pokažite da je zbroj polumjera upisanih kružnica tih trokuta stalan bez obzira na podjelu na trokute.

(Napomena: Ovaj zadatak vrijedi 50 bodova (ostali po 25), a pri rješavanju pojedinog dijela ovog zadatka dopušteno je koristiti ranije dijelove makar i ne bili riješeni.)
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 1995