IMO 2017 zadatak 3


Kvaliteta:
  Avg: 5,0
Težina:
  Avg: 7,5
Dodao/la: arhiva
28. srpnja 2017.
LaTeX PDF

Lovac i nevidljivi zec igraju igru u euklidskoj ravnini. Početna točka zeca, A_0, i početna točka lovca, B_0, su iste. Nakon n-1 rundi igre, zec je u točki A_{n-1}, a lovac u točki B_{n-1}. U n-toj rundi, redom se odvija sljedeće:

\text{(i)} Zec se neprimjetno premješta u točku A_n tako da je udaljenost između A_{n-1} i A_{n} točno 1.

\text{(ii)} Uređaj za lociranje dojavljuje lovcu točku P_n, garantirajući samo da je udaljenost itmeđu P_n i A_n najviše 1.

\text{(iii)} Lovac se vidljivo premješta u točku B_n tako da je udaljenost između B_{n-1} i B_{n} točno 1.

Može li lovac uvijek, za bilo koje pomake zeca i za bilo koje točke koje dojavi uređaj za lociranje, birati svoje poteze tako da udaljenost između njega i zeca nakon 10^9 rundi bude najviše 100?

Izvor: Međunarodna matematička olimpijada 2017